2016年数学全真模拟试卷三

2016 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三 试题Ⅰ 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? { ? 1,0,2},B ? {x|x ? 2n ? 1,n∈Z},则 A∩B ? 【答案】{ ? 1} 2. 设 e1 , e 2 是平面内两个不共线的向量, a ? xe1 ? 3e2 ( x ? R) , b ? 2e1 ? e2 .若 a // b ,则 x 的值 为 ▲ . ▲ . 【答案】 ? 6 3. 从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为 b, 则 a≤b 的概率为 ▲ 【答案】 8 9 4. 如图,是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用 c (单位:元)与行李重量 w (单位:千克) 之间的流程图.假定某旅客的托运费为 10 元,则该旅客 托运的行李重量为 ▲ 千克. 【答案】20 ?0, x ? 0, ? 5. 函数 f ( x) ? ? 的零点个数为 ▲ . x ? 1, x?0 ? x ? . 开始 输入 w Y c← 0.5w w ≤ 50 N c← 25+(w-50)×0.8 输出 c 结束 (第 4 题) 【答案】3 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ln x 在 人数 x ? e 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积是 ▲ . 2 【答案】 e 4 7. 如图, 是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图, 利用组中值可估计其的平均分为 【答案】62 ▲ . 10 8 6 4 2 O 20 40 60 80 100 成绩 (第 7 题) ? ? 0,? ? ? ) 的图象关于坐标原点中心对称,且在 y 轴右侧 8. 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? 的第一个极值点为 x ? ? ,则函数 f ( x) 的最小正周期为 ▲ . ? 1

【答案】 4 ? 3 9. 关于定义在 R 上的函数 f ( x) ,给出下列三个命题: ①若 f (1) ? f (?1) ,则 f ( x) 不是奇函数; ②若 f (1) ? f (?1) ,则 f ( x) 在 R 上不是单调减函数; ③若 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) 对任意的 x ? R 恒成立,则 f ( x) 是周期函数. 其中所有正确的命题序号是 【答案】②③ 10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? k n ? 1 (k ? R) ,且 ?an ? 既不是等差数列,也不是等比数列,则 k 的 取值集合是 ▲ . 【答案】 ?0? . 【解析】 . 11.如果将直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得直线 l ? 与圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 c 的值构成的集合为 ▲ . ▲ . 【答案】{ ?3 , ? 13 } 【解析】易得直线 l ? : ( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? c ? 0 ,即 x ? 2 y ? c ? 5 ? 0 ,圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 l ? : x ? 2 y ? c ?5 ?0 ,2 ) 的圆心 (? 1 到直线 的距离 c?8 5 ? 5 ,解得 c ? ?3 或 c ? ?13 . 12.已知正数 x,y 满足 xy ? 【答案】 1 3 【解析】由 2 xy ? x? y ,则 y 的最大值为 ▲ . x ? 3y 2x ? y 2x ? y 1 1 ,得 2x ? 3 y ? , ? ? 2x ? 3 y 2xy y 2x y≤1 . 所以 1 ? 3 y ? 2 3 y 2 ? 2y ? 1 ≤ ,解得 0 x? 1≥ 2 x 2? 1 ? ,从而 2 3 y 2x 2x 13.考察下列等式: cos π ? isin π ? a1 ? b1i , 4 4 ? isin π ? ? a ? b i , ?cos π 4 4 ? isin π ? ? a ? b i , ?cos π 4 4 2 2 2 3 3 3 ?? ? isin π ? ? a ? b i , ?cos π 4 4 n n n 2

其中 i 为虚数单位,an,bn(n ? N* )均为实数.由归纳可得,a2015 ? b2015 的值为 【答案】0 【解析】通过归纳可得, ▲ . ? isin π ? ? cos n π ? isin n π ,从而 a ?cos π 4 4 4 4 n 2015 ? b2015 ? cos 2015π 4 ? sin 2015π ? 0. 4 ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14.在△ABC 中, AE ? 1 AB , AF ? 2 AC .设 BF , CE 交于点 P ,且 EP ? ? EC , FP ? ? FB 3 3 ( ? , ? ? R ),则 ? ? ? 的值为 【答案】 5 7 ▲ . 【解析】不妨考虑等腰直角三角形 ABC,设 AB ? 3 , AC ? 3 , 以 AB, AC 分别为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系 xOy , 0) , F (0, 0) , B(3, 0) , C (0, 3) , E (1, 2) , 则 A (0, y 直线 BF 的方程为: x ? ? 1 ,① 3 2 直线 CE 的方程为: x ? y ? 1 ,② 3 由①②得, x ? 3 , y ? 12 ,所以 P 3 ,1 2 , 7 7 7 7 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 3 ) 3 ? 0 ?? ( 3 ? 0 ) 代入 E P? ? E C , F P? ? F B 得, ? 1 ?? ( 0 ? 1 , , 7 7 解得 ? ? 4 , ? ? 1 ,故 ? ? ? ? 5 . 7 7 7 ? ? 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知△ABC 内接于单位圆(半径为 1 个单位长度的圆) ,且 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值. (1)由 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 得 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B , A? t a Bn ? , ( ? B ?) t a n 1 4 分) 所以 t a nA ( 1? t a A n tB an 故△ABC 中, A ? B ? ? , C ? ?? (6 分) ? ? (2)由正弦定理得 c ? 2 ,即 c ? 2 , (8 分) sin ?? ? 3

由余弦定理得 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ?? ,即 2 ? a2 ? b2 ? 2ab , (10 分) ? 由 2 ? a2 ? b2 ? 2ab≥2ab ? 2ab 得 ab≤2 ? 2 , (当且仅当 a ? b 时取等号) (12 分) 所以 S ? 1 ab sin 3? ≤ 2 ? 1 .(14 分) 2 ? 2 16. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,锐角三角形 PAB 所 在的平面与底面 ABCD 垂直, ?PBC ? ?BAD ? 90? . (1)求证: BC ? 平面 PAB ; (2)求证: AD // 平面 PBC . 证明: (1)在平面 PAB 内过点 P 作 PH ? AB 于 H , B C (第 16 题) P A D ? 因为平面 PAB ? 平面 A B C D ,平面 PAB ? 平面 A B C D A, B PH ? 平面 PAB , 所以 PH ? 平面 ABCD , (4 分) 而 BC ? 平面 ABCD ,所以 PH ? BC , 由 ?PBC ? 90? 得 PB ? BC , 又 PH ? PB ? P , PH , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB , (8 分) (2)因为 AB ? 平面 PAB ,故 BC ? AB , 由 ?BAD ? 90? 得 AD ? AB , 故在平面 ABCD 中, AD // BC , (11 分) 又 AD ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 AD // 平面 PBC . (14 分) 17. (本题满分 14 分) 某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈 由两条平行线段(图中的 AB,DC) .. 和两个半圆构成,设 AB ??x m,且 x ≥ 80 . (1)若内圈周长为 400 m,则 x 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? (2)若景观带的内圈所围成区域的面积为 【解】设题中半圆形半径为 r(m) , 矩形 ABCD 的面积为 S(m ) , 内圈周长为 c(m) . D C 4 2 22 500 2 m ,则 x 取何值时,内圈周长最小? π A B

(1)由题意知: S ? 2 rx ,且 2 x ? 2 πr ? 400 ,即 x ? πr ? 200 , 于是 S ? 2rx ? 2 ? x ? (πr ) ≤ 2 x ? πr π π 2 ? ? ? 20π000 (m ) 2 2 当且仅当 x ? πr ? 100 (m)时,等号成立. 答:当 x ? 100(m)时,矩形 ABCD 的面积最大. (6 分) (2)由题意知: 2rx ? πr 2 ? 从而 c ? 2 x ? 2πr ? 2 因为 x ≥ 80 ,所以 22 500 22 500 π ,于是 x ? ? ?r , π 2πr 2 22 500 (8 分) ? πr . ? π ? r ? ? 2πr ? ? 222π500 πr r 2 2 2 5 0 0π 2 ? ? r ≥ 80 ,即 ? πr ? ? 160 ? πr ? 22 500 ≤ 0 , 2πr 2 解得 ?250 ≤ πr ≤ 90 ,所以 0 ? r ≤ 90 , (10 分) π 2 故 1 ≥ π . 2 8 100 r 因为 c? ? ? 2 2 5 0 01 ? 2 ? π ≤? π r 2 22 50 0 (12 分) ? π ? π ? ? 16 π < 0 , π 8100 9 所以关于 r 的函数 c ? 22 500 ? πr 在 0 ,90 ? 上是单调减函数. πr π? ? ? 22 500 π 90 故当 r ? 90 即 x ? ? ? ? 80 (m)时,内圈周长 c 取得最小值, π 2 ? 90 2 π 且最小值为 22 500 . (14 分) ? 90 ? 340 (m) 90 18. (本题满分 16 分) 2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,且过点 a b ? 2, 5 . ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上横坐标大于 2 的一点,过点 P 作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线分别与 y 轴交于点 A , B ,试确定点 P 的坐标,使得△ PAB 的面积最大. 解: (1)由题意得, 2c ? 2 6 ,且 22 ? 5 (2 分) ?1, a b2 又 c2 ? a 2 ? b2 , 故 a 2 ? 12 , b 2 ? 6 , 所以椭圆 C 的方程为 x ? 12 2 y2 (5 分) ?1; 6 x02 y02 2 3? m) , B(0, n) ,不妨 m ? n , y0 ) ,其中 x0 ? 2, (2)设点 P( x0, ,且 ? ? 1 ,又设 A(0, ? 12 6 ? x y ? 0x m ?0 则直线 PA 的方程为: ( y0 ? m) x? 0 , 5

,0 ) 则圆心 ( 1 到直线 PA 的距离为 y0 ? m ? x0 m ( y0 ? m)2 ? x02 ?1, 2 化简得 ( x0 ? 2 ) (8 分) m ? 2y x ?, 0 0 m? 0 同理, ( x0 ? 2)n2 ? 2 y0 n ? x0 ? 0 , 2 所以 m , n 为方程 ( x0 ? 2 )x ? 2y x ? 的两根, 0 0 y? 0 则 ? m ? n? ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 4 x0 ( x0? 2 ) , (10 分) ( x0 ? 2 2) 又△ PAB 的面积为 S ? 1 (m ? n) x0 , 2 所以 S 2 ? y0 2 ? x0 ( x0 ? 2) 2 ( x0 ? 2 2) ? 8 2 x0 ? x0 , (12 分) 2 (x0 ? 22 ) ( x0 ? 2)2 (t 2 ? 8)(t ? 2)2 , 2 ? 3 ? 2 令 t ? x0 ? 2 ? 0 ,记 , f ( t ) ? ? 2t 2 ? 则 f ?(t ) ? t (t ? 2)(t 3 ? 16)2 2 3 ? 2? ? 0 在 0, ? 恒成立, t4 ? 3 ? 所以 f (t ) 在 0, 2 ? 上单调递增, ?2 ? 故 t ? 2 3? 2 ,即 x0 ? 2 3 时, f (t ) 最大, 此时△ PAB 的面积最大. (16 分) 19. (本题满分 16 分) x 1 ,a?R . 已知函数 f ( x)? a l n ? x (1)若 f ( x) 有极值,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 有经过原点的切线,求 a 的取值范围及切线的条数,并说明理由. 1 ( x ? 0) ,(2 分) 解: (1)易得 f ?( x) ? a ? 12 ? ax ? x x x2 若 a≤0 ,则 f ?( x )? 0 ,从而 f ( x) 无极值; 若 a > 0,则当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 有极小值 f 1 . a a a 综上,a 的取值范围是 (0 ,? ?) .(4 分) (2)设 P(x0,y0) 是经过原点的切线与函数 f ( x) 图象的切点, 则切线方程为 y ? a ln x0 ? 1 ? a ? 12 ( x ? x0 ) , (6 分) x0 x0 x0 因为切线过点(0,0),于是 ?a ln x0 ? 1 ? ?a ? 1 ,即 2 ? a ?1 ? ln x0 ? , x0 x0 x0 6 ?? ? ?

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